Elément de Module : Optique Ondulatoire

Introduction

L’optique qui est l’étude du comportement de la lumière, est une très vieille branche de la physique. En effet les premiers ouvrages d’optique que nous connaissons datent des philosophes et mathématiciens grecques.

            Actuellement l’optique revient à la pointe du progrès scientifique. Les causes principales sont dues entre autres à l’apparition du laser et aux nombreuses applications de l’optique à la physique atomique, l’informatique pour le traitement et la transmission des informations, etc.…

            Pour comprendre ce qu’est la lumière, pouvoir expliquer les phénomènes auxquels elle participe, il est instructif de suivre l’historique des différentes conceptions qu’on a eu sur l’évolution des idées sur la lumière.

            Descartes considérait la lumière comme étant une pression qui se transmet à travers le milieu. A l’aide de cette conception on arrivait à expliquer le phénomène de réflexion et de réfraction.

            Ensuite Newton élabora la première théorie importante relative à la nature de la lumière. La lumière est de nature corpusculaire, elle est constituée de grains extrêmement légers, émis par la source, qui se déplacent à très grande vitesse et frappent l’œil.

            Au XIX^ème siècle, Fresnel adopta la théorie ondulatoire, seule capable d’interpréter les phénomènes d’interférences et de diffraction. Cette théorie fut améliorée par Maxwell qui précisera la structure des ondes lumineuses : Elles sont constituées par un champ électrique  et un champ magnétique  perpendiculaires et dont les intensités varient périodiquement dans l’espace et dans le temps. Toutes les ondes lumineuses se propagent dans le vide avec la même vitesse c (c = 299790 Km.s^-1 » 3.10⁸ m.s^-1). La propagation de la lumière s’accompagne d’un transport d’énergie. La puissance transportée est reliée, par une relation simple, aux amplitudes des champs et .

            Cependant la théorie électromagnétique satisfaisante pour expliquer les phénomènes de propagation ne permettait pas d’expliquer les phénomènes d’émission et d’absorption de la lumière par les atomes (effet photoélectrique). Einstein, sur la base de la théorie des quanta élaborée par Planck, remit à l’ordre du jour la théorie corpusculaire de la lumière. En supposant l’existence de quanta de lumière ou photons (dont l’énergie est proportionnelle à la fréquence de l’onde, E = h) il put expliquer l’effet photoélectrique.

La mécanique ondulatoire de L. De Broglie, qui associe à toute particule en mouvement une onde, a permis de concilier le double aspect corpusculaire et ondulatoire.

            On peut diviser l’optique en plusieurs domaines :

L’optique géométrique         : C’est la partie de l’optique que l’on peut traiter en assimilant la lumière à des rayons lumineux.

L’optique ondulatoire        : C’est le domaine de l’optique où les phénomènes peuvent s’expliquer en considérant la lumière constituée par des ondes. Cette théorie est capable d’interpréter les phénomènes de diffraction et d’interférence. A chaque fréquence correspond pour l’œil normal une couleur bien déterminée. La lumière visible correspond à des fréquences comprises approximativement entre 4.10¹⁴ Hz (rouge) et 7.10¹⁴ Hz (violet).

L’optique électromagnétique : Elle est basée sur les équations de Maxwell et considère la nature ondulatoire et électromagnétique de la lumière.

L’optique quantique                : Elle étudie le comportement des photons.

            Dans ce module, nous étudierons quelques aspects de l’optique géométrique et de l’optique ondulatoire.

Chapitre I : Les ondes.

Dans ce chapitre, on va rappeler les caractéristiques importantes d’une onde dans un cadre général. On passera ensuite à l’étude des ondes lumineuses (électromagnétiques) que l’on rencontrera tout le long des différents chapitres qui vont suivre.

Avant de perler de la notion d’onde, on va rappeler ce qu’est une vibration.

I-       Les vibrations :

I-1. Définition :

Une vibration est une grandeur physique représentée par une fonction périodique f vérifiant la relation :

f(t) = f( t + nT)   n  IN

T est appelée période de la vibration.

 sa fréquence.

Exemple : Le déplacement d’un bouchon à la surface de l’eau.

Si on jette une pierre dans l’eau (près d’un bouchon), la surface de l’eau aura une forme ondulée définie par la fonction h(x).

Le bouchon va se déplacer le long de l’axe vertical (en pointillé) et indiquera à chaque instant la hauteur de l’eau.

On voit que le déplacement du bouchon (quantité physique) sera une fonction périodique du temps. On peut donc caractériser ce déplacement par une fonction                  h(t) =A cos (t -). A : L’amplitude ;  : sa pulsation définie par  ; (t -) : phase de la vibration et  : sa phase initiale.

Si on a à t = 0, h = h₀ et A=h₀ et =0  h(t) =h₀ cos (t).

Le bouchon trouve sa position initiale après le temps t’ =t + T

 h₀ cos (t) = h₀ cos (t + T) on retrouve la définition de la période :

 .

II-    L’onde :

II-1. Définition :

L’onde est une énergie qui se propage et qui crée des vibrations.

On peut aussi dire que la propagation d’une perturbation sans entrainement de matière représente une onde.

Dans notre exemple, c’est la pierre jetée qui a fourni l’énergie nécessaire pour faire naître l’onde. On peut ’ schématiser’ cette onde par le mouvement progressif des vagues soulevant le bouchon.

On constate que l’onde avance avec une vitesse constante et qu’elle possède une périodicité spatiale appelée longueur d’onde . La quantité est appelée nombre d’onde.

II-2. Définition mathématique :

L’équation de propagation d’une onde le long d’un axe a pour solution

s = f(x - vt) + g(x + vt)

Étudions le cas du terme , l'étude de l'autre terme se menant de manière parfaitement identique.

• À l'instant t₀ et à l'abscisse x₀, ce terme prend la valeur .
• À l'instant , donc un peu plus tard, l'onde s'est propagée. On cherche à quelle abscisse on a .

Cette égalité est vérifiée tout à fait logiquement lorsque (la fonction ƒ appliquée au même nombre va donner le même résultat).
Après développement et simplification, on aboutit à la relation. v est donc la vitesse de propagation de l'onde dans le milieu étudié.
v étant définie positive, cette onde se propage dans le sens des x croissants.

• terme en correspond à une onde se propageant vers les x croissants à la vitesse v
• Le terme en correspond à une onde se propageant vers les x décroissants à la vitesse v

La solution trouvée plus haut peut alors s'interpréter comme suit : Le terme en correspond à une onde se propageant vers les x croissants à la vitesse v Le terme en correspond à une onde se propageant vers les x décroissants à la vitesse v

Si on veut se rapprocher de l’image de la vague qui se déplace (VOIR FIG ), il suffit de prendre une fonction sinusoïdale que l’on mettra sous la forme :

f(x, t) = A cos(k(x – vt)

On n’a gardé que le terme en (x – vt) car le sens de propagation est suivant le sens positif.

La fonction f(x, t) représente une onde progressive sinusoïdale.

k est appelé vecteur d’onde.

En remplaçant x par  dans f(x, t), on retrouve la même fonction f(x, t). C’est précisément la définition donnée à la longueur d’onde : .

Si on met f(x, t) sous la forme :

f(x, t) = A cos(kx – t)

on retrouve la même fonction en remplaçant t par  d’où 

En comparant les deux formules de f(x, t) on a les relations :

     et      

En résumé, on peut remarquer que :

v  f est périodique dans l’espace .

v  f est périodique dans l’espace .

Une onde sinusoïdale quelconque qui se propage dans une direction quelconque peut s’écrire de façon très générale :

s = A cos(t - )

II-3. Représentation d’une vibration sinusoïdale :

a)      Représentation algébrique :

C’est la fonction       s = A cos(t - )

b)      Représentation graphique : Appelée aussi représentation de Fresnel

Etant donné un axe Ox et un sens de rotation, on représente la fonction

sinusoïdale à l’aide d’un vecteur tournant  d’origine O, de module A, tournant à la vitesse angulaire constante  et faisant au temps t = 0 l’angle  avec l’axe Ox.

La projection Om, du vecteur tournant  sur l’axe Ox, donne l’élongation de la vibration sinusoïdale s = A cos(t - ).

a)      Représentation complexe :

Si le vecteur tournant  est défini dans le plan complexe, on peut le représenter par la grandeur

 est son amplitude complexe.

II-          Les ondes électromagnétiques :

III-1. Onde monochromatique progressive. Régime sinusoïdal :

On peut supposer que le champ électriqueet la champ magnétique, qui constituent l’onde lumineuse, varient sinusoïdalement en fonction du temps, et à la même pulsation .

Ainsi en un point M de l’espace, les champs physiques réels s’écrivent :

Les champs  et  progressent de la même façon et sont perpendiculaires entre eux.

III-2. les surfaces d’onde :

Une surface d’onde (ou front d’onde) est le milieu des points où le champ électromagnétique présente le même état vibratoire, c’est-à-dire, possédant les mêmes vecteurset  au même instant t.

On aura : A(M) = A cos(t - (M))    et  A(M’) = A cos(t - (M’))   

(M) = (M’) = constante quels que soient les point M et M’ de la surface.

Remarque :

La nature d’une onde électromagnétique est déterminée par la forme de ses surfaces d’onde.

                                Ondes planes    

Ondes sphériques

Written by Unknown

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